指定券は記念に貰える？

もらえます。

営業規則上は「回収する」となっていますが、
「記念に頂きたいのですが」と申し出れば、断られることなく頂けます。

殆どの場合は、きっぷに穴を空けたり、「無効」印を押した上で頂けます。

「グリーン券」「指定席券」「寝台券」だけでなく、
「お得きっぷ、フリーパス本券」「入場券」なども頂けます。
何らかの理由により、手書きで発行した指定券の場合は頂けない場合もあります。

JR会社線全てが同じ扱いだと思いますが、幾つか記載元を記載しておきます。

※自動改札を通すと回収されてしまうので、必ず有人改札をお通り下さい。

駅によっては記念のスタンプを押してくれます。

ＪＲ東日本ページに記載あり
使用後の乗車券類は原則的に回収しておりますが、お持ち帰りになりたい旨のお申し出があった場合には、券面に「使用済」「無効」の押印等の証明を行い、穴を開けてから、お渡ししております。
引用：JR東日本

ＪＲ西日本ページに記載あり
使用済のきっぷにつきましては、お降りの駅で係員が回収することを原則としていますが、｢旅行の記念｣として持ち帰りたいというお客様のご要望にお応えして、係員が配置されている駅に限り、再利用防止に必要な措置を施した上でお渡しできることとしております。
引用：JR西日本